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2012-2017 HKDSE Math 歷屆數學不同級別(Grade)所需分數 cut off 及其分析

本文目的:
坊間 cut-off 出處係邊?準嗎?啲 cut-off 原貎(原始數據)係點?真實 cut-off 係幾多?啲 cut-off 數據,有否反映出其他資訊(如考卷深淺變化)? 本文希望能為此提供答案。(如有問題請留言
(一) 坊間 Cut-off 來源:某大討論區 網上所有 Cutoff 資料,其實全出自某學生討論區,佢地每年都收集分數 (覆卷考生無私交出 check 卷結果),再整理 得出大約既 Grading 分數*,使莘莘學子得益。
(*係大約咋,下文會講點解係大約,同應該點用呢啲數據)

(點解考試局唔公開呢啲資料呢?好多外國公開試都有咁做。)
(唔唔,應該係,除非唔係。)

佢嗰塊蛋糕比我嗰塊大!

 從前有兩兄弟去餐廳食飯。佢地各自點左一份鐡板牛扒。當侍應上菜時,侍應攞住兩碟牛扒:一碟既牛扒比較大塊,而另一碟既牛扒比較細塊。侍應先比阿哥揀一碟,哥哥毫不猶豫就揀左比較大嗰碟。
細佬好唔滿意,話阿哥無禮貌。
阿哥就問細佬:「如果比你先選,你會揀邊一碟?」
細佬就答:「我好有禮貌,會選比較細嗰碟。」
阿哥回答:「非常好,咁細嗰碟就比你啦!」


過去咁多年黎,數學家不斷研究平均分配呢樣野;不過佢地通常係用蛋糕做例子,而唔係用牛扒。切蛋糕呢樣野背後隱含左唔少既數學原理,甚至有人寫左本書《Cake Cutting Algorithms》,專門研究呢類問題。

講起分蛋糕,先考考大家一條問題:
假設而家你要將個生日蛋糕分比個小朋友,由於時間關係,你只可以切3刀(我承認呢個理由有D古怪,不過算啦!)。你要點樣切,而且只能沿直線切3刀,先可以平均將蛋糕分成8份呢?

無錯,就好似下圖咁,由上而下切兩刀,再橫向切過蛋糕既中間。




IQ題講到底都係IQ題,如果係真正既生日蛋糕,上面嗰層應該會有糖霜同忌廉。用上面嗰種切法,我相信無人會希望分到下面嗰層。所以一般而言,大家都會咁分一個正方形既蛋糕:首先將蛋糕對半切開,然後再分別對半切開。用呢種分法,切2、4或者8塊蛋糕都好簡單。不過,如果人數係奇數呢?假設你要分蛋糕比7個人,你又可以點切,先平均切出7件同量大小既蛋糕呢?

以下呢種切法,不論係分比幾多個人都適用:
假設我地有一個正方蛋糕,要分比7個人。
1) 先將正方形既周邊劃分為7個等長既部份,每部份X單位長,並記低位置(a-g)。(參考下圖)
2) 然後揾出蛋糕既中心點(M),由記號開始沿直線切到中心點。















呢個做法可以分倒7份相同份量既蛋糕,而每份蛋糕都有糖霜同忌廉。各位讀者不妨證明一下佢地既分量點解相同,而且只需要用到小學既數學知識。

不過,如果你想分蛋糕比小朋友,呢個方法係無用既,因為小朋友一定會斤斤計較蛋糕分量係唔係完全一樣。既使你用上面個方法分蛋糕,佢地都唔會明白點解蛋糕分量相同;就算你用數學證明左比佢地睇(前提係:佢地聽得明),佢地都會話:都係人地嗰塊睇落大D!咁我地應該點分蛋糕呢?

假設媽媽焗左個長方形既蛋糕比上文中既兩兄弟(補償細佬既不公平待遇?!)。媽媽可以用以下方法分蛋糕比佢兩兄弟,令佢兩個都覺得完全公平:

1) 將刀交比細佬,比佢將蛋糕分成兩等份。
2) 分左蛋糕後,由阿哥先揀一塊蛋糕,剩番嗰塊就歸細佬所有。

有人叫呢個方法做「我切你選」。用呢個分法,細佬會認為2塊蛋糕大小相同;而阿哥就會認為佢選嗰一份比較大塊。所以兩兄弟都會滿意呢種分法。

但係如果你要分蛋糕比3個小朋友呢?1994年,波蘭數學家團體成員之一既Hugo Steinhaus提出左一個三人公平分配蛋糕既方法。方法被稱為「修減法」(trimming)。
方法如下:

假設要分蛋糕比A、B同C三個小朋友。
1) 由A將蛋糕切成α同β兩份,α佔成個蛋糕既1/3,而β佔2/3。

2) A將α交比B修整。如果B認同α佔成個蛋糕既1/3,佢無須理會。如果B認為α大於1/3,佢可以將呢塊蛋糕修成佢認為既1/3。不論B有無修整蛋糕,我地都叫呢塊蛋糕做α*。α*唔係等於α,就係細過α。

3) B將α*交比C,由C決定要唔要呢塊蛋糕(α*)。

4) 如果C接受α*:
咁A同B將剩番既蛋糕(α*同B在α中切落既薄片)用「我切你選」方法平分。

如果C唔接受α*,而且B修減過α:
B被分配α*,A同C用「我切你選」方法平分剩低既蛋糕(包括薄片)。

如果C唔接受α*,而B無修減過α:
A被分配α*,而B同C用「我切你選」方法平分β。

其實呢類方法除左可以分蛋糕外,仲可以分其它野。例如分配土地、分遺產等。《數學可以羅馬?!20個數學世界裡的奇妙謎題》p.185 中提及到一個以上述方法分配土地的例子。

註:本文參考自《為何公車一次來三班?》和《數學可以羅馬?!20個數學世界裡的奇妙謎題》

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