[數學練習][中一,小六] 百分數, 分數互化強化練習(約簡 記得常見分數 百分數)

百分率, 分數互化 這課題是許多高小學生(小六) 的難題 (惡夢)。特別是數學較弱的同學, 他們通常靠死記做數, 沒有技巧, 遇上變化較多的分數互化, 很多時都只懂用獨沽一味直式去除, 若同時除數又未做熟, 咁就出大問題嘞.

最近又有數個學生有這問題, 所以整理左一些對應練習給他們:

(17張圖片 | 亦可 下載 pdf)

要求: 1) 不計出原數(i.e, 100%) 前提下嘗試計出答案,
    2) 不用計數機(可用算草)  ; 
    3) 盡量試諗最快捷方法
目的: 強化乘除/倍數/心算/分數概念

以第一張圖作例子, 可以試用倍大/縮小 (或比率原理)方法計出答案, 舉例:

1) 25% 為 17英磅 , 50% 為 25% 的兩倍, 所以為 17 x 2 = 34 英磅。
9) 150 英磅 為 60 英磅的 2.5倍, 10% 的 2.5 倍 (2倍再加 0.5份) 為 25%。

第一張圖答案及貼士如下, 其餘有空再補:

1) £34, £70, £60, £300, £150, 100;   6) £30, 10, 25, £18, 30, 80;
13) 100, £18*, 25*, 5*, 72, 10;   19) 80, £27*, 25*, 33*, 55*, 36*
14) 1/3 is £20, 1/30 is £2, 30% = 33⅓% - 3⅓%;
15) find 10% first;
16) see 4.5 is half of 9; 10% = £9 ;
20) 6⅔ = £12, so 60% = 120 - 12 = 108, 15% =  108 ÷ 4
20) see Q14 method
21) method 1: try simplify 40/128 ;  method 2: 40% = £64 ; 20% = £32
22) see Q21
23) find 10% is ? first
24) find 30% is ? first

部分做法參考:
頁3(右上,右下)  13/16 = 5/16 + 50 = 81¼% ; 5/8 = 5/16 x 2 = 62½%
頁5上行左2, 下行左1的圖: 看對稱性 ; 其他: 計算正方形面積, 或可合併作一長方形 
頁6-7: 與頁3 右上右下同類
頁8右側答案: 1)13/20, 13/20, 13/50, 13/65, 16/20, 16/50, 21/35, 21/60, 31/50, 31/62 ;  2)36/48, 36/75, 63/75, 63/84 ;  3) 79/80 = 98.75%
頁9左下: 先計 6¼% = 5 + 1¼%; 6¼ = 2 x 3⅛ ; (右側)分子非1 的3條, 可照樣分拆: 31¼ = 25 + 6¼ (或者做熟可能會睇到: 6¼ x 5 = 31¼)
頁9右下: 可以 ⅓ 的小數值去解 (5), (8), (9);  (10)可以 25% 去諗

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CE Math MC 技巧 (1991/II/Q39) 用「念力」3秒計出答案

CE Math (1991/II/Q39)

If (x −2)(x −3) = (a −2)(a −3), solve for x.
A.   x= 0 or 5        B.   x= 2 or 3         C.   x= a or 2        D.   x= a or 3         E.   x= a or 5 − a

---

今次講呢條係咪好似好易？但做落呢？係咪又好難呢？

你如果拆開哂佢，你梗計度「x = a」呢個答案架，因為左邊每個coefficient(系數)全等於右邊的coefficients。只要識些少做 Algebra (代數) 概念，你都搵到「x = a」呢個答案。

[最強方法步驟如下]  

[若只想知道最快方法可只看藍色字]

[步驟1](第1秒) 比較左右式(完全相同) 得知其一答案為 a

首先，透過對比方程的 左邊 (L.H.S) 和 右邊 (R.H.S.)，好明顯可以看得出 a 是其中一解，因為佢地根本只係個未知數由 x 轉左做 a。

要懂這樣做，其實你已經清楚明白 何為解方程 (Solve equation)：就是 x 究竟可以放什麼數進去，使方程成立。

[證明：代 x = a，
            L.H.S.
            = (x −2)(x −3)
            = (a −2)(a −3)       (x = a)
            =  R.H.S.]

---

但跟住點呢？仲要搵埋另一個答案喎。

---

[步驟2](第2秒) 知道「x = a」後，剩下3個可能答案：

C.   x= a or 2       D.   x= a or 3       E.   x= a or 5 − a

---

要解答，其實有3種諗法：

---

1. ( > 20 秒) C,D,E 逐個答案試 (Level 1)

[詳細步驟如下]

代 x =  5 − a (答案E)，
L.H.S.
= (x −2)(x −3)
= (5 − a − 2)(5 − a −3)       (x =  5 − a)
= (3 − a)(2 − a)
= [−(a − 3)][-(a − 2)]
= (a −2)(a −3)
= R.H.S.      [可能亦需要試埋答案 C 同 D]

2. (3 - 4 秒) 代數搭代數 (Level 2)

題目中總共有2個變數Variable(未知數)：x 和 a。一旦 a 的數值改變，x 的數值亦會隨之而改變。因此，x 的第一個解既然是 a，x 的另一個解亦絕不會是實數(數值)。所以 C 和 D 都是錯誤的答案。

3. (1 秒，最高境界) 排除對稱答案 (Level 3)

在 C 和 D 兩個答案中，分別出現了 C) x = 2 和 D) x = 3。

睇番問題 L.H.S. = (x −2)(x −3)
我會話呢條問題有一個「對稱性」，
即係話 C) x = 2 啱的話，D) x = 3 點會唔啱呢？ (反之亦然)
因為唔可以兩個答案都啱)，因此可以排除這兩個選項。

所以 C 同 D 唔會係答案。

所以正確的答案是：    E)   x= a  or  5 − a

所以做數叻一定要識用腦，唔好淨係識機械化地做。

做數就係要通過諗多幾個唔同方法去做，咁，你先可以「升呢」。

好多公開試 MC 題可以比你多角度咁諗，你肯諗，或者去學下人地點諗，你就可以提升到你既小宇宙。攞 5** 既就係呢啲人，當然你若果已經係升中六啦，但數學依然不甚了了，咁當然唔好追求 5** 啦 (即係等於你唔係名人有錢人就唔好溝女明星啦，唔係？結果會點？咩焦頭爛額囉)。

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[老師不教的數學] 圓周界為何是「直徑×π」? 圓周率是什麼? 看GIF動畫圖詳解 [初小可理解]

1)圓周界為何是「直徑×π」(2πr)?

為什麼 Pi (π) [圓周率] 是 22/7 或 3.14 ? 

(正確點說 π 應該是 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751...) ?

1a)圓周率 pi = 圓直徑 與 其周界 的比率

1b)米奇老鼠都黎解釋，3份直徑多一點，剛好包好圖周

1c)「碌車碌」展示圓周率約為 3.14

• 以上 GIF 的做法，用 1 條縄都可以做到，不過不夠精準。

2)圓周率的計算(準確計算 π)

2a)以「切月餅」細分方法 求出圓面積約為 πr²

1. 把圓一開 4份，再開 8份，再開至很小很小片 (好似生日蛋糕要分比好多人)
2. 一塊上一塊下的把其排好，細分後形狀很近似一個長方形
3. 長方形: 高 = 半徑(r) ; 長度 = 半條周界 (r×π)
4. 長方形面積 = 長 × 濶(高) = (r)×(rπ) = πr²

2b)以「剝洋蔥」方法 求圖面積

1. 把圓劃成等濶的多個圈
2. 攤開它們形成一兩面階梯的形狀，近以一三角形
3. 三角形: 底 = 圓周  = 直徑×π (2πr) ; 高 = 半徑 (r)
4. 三角形面積 = 底 × 高 ÷ 2 = 2πr × r ÷ 2 =  πr²

3)其他資料及總結

有興趣教小朋友的，可以淘一個圓周率演示器


課題:
Circumference (圓的周界) [小六]
Circle Area (圓面積) [中一]

相關文章：數學 MC 技巧之「三角面積」及「打格仔」法相關文章
相關文章：[老師不教的數學] 畢氏定理(Pythagorean theorem) 的証明？GIF動圖詳解。[中二識用, 小五可試]

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參考資料:

維基百科(圓周率)

Digits of Pi - Up to 1 Million Digits
Google

[趣味IQ題][考起考試局] 正四面體加正方錐體，等於幾多面體？公開試題都出錯 (中二程度|小五可試)

消失的平面

正四面體(tetrahedron)，與正方錐體(square pyramid)

一正四面體(tetrahedron)*，與一正方錐體(square pyramid)，它們的所有三角面(共8塊)皆為大小相同的等邊三角形(equilateral triangle)；若把它們的其中一面三角面完全黏合，這新多面體(polyhedron)* 會有幾多面？小心噢。。。答案不是你想像中咁䆟易喔～

*正四面體(tetrahedron)：4面皆為等邊三角形之錐體
*多面體(polyhedron)：每面皆為多邊形的立體
。
。
。
答案在下方
。

[答客問-影片] [老師不教的數學] 如何睇圖搵三角數(sin cos tan)方程 (HKCEE 2001 paper 2 Q44)

Sin Cos 圖

  

方法1：試數

（程度較低，但較慢）

1. 搵定位點（要準確睇到x,y座標）
2. 用一點黎試
3. 試哂所有答案，
4. 如果多於一個啱，試多一點

方法2：直接變換(Transformation)

（程度較高，但較快）

1. 睇下問題中的圖似邊款三角數
2. 由基本圖開始（e.g., y = sin x），直接將圖一步一步變做問題的圖（中五－函數 f (x) 的變換）

建議最佳方法： 先用方法2搵答案，再用方法1覆實。

好處：最穩陣，雖然時間要用多一點

 
相關課題：
中五－函數圖像的進一步認識(More about graphs of functions)
中四－基本三角學(Basic Trigonometry)
 
相關問題： 
以下全部為 HKCEE Paper 2
1995 Q50, 1996 Q21, 1997 Q44, 1998 Q45, 1999 Q16,
2000 Q11, 2007 Q46, 2008 Q46

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[答客問]【程度5**】一條最多人唔識的疑似「平面幾何(Plane Geometry)」DSE MC 問題

網友Jacky Ng問的問題，

 
這問題深在，驟眼看，似是用平面幾何方法(Plane Geometry)做，但實際應該要加上三角學(Trigonmetry - 即 sin cos tan)才能答到。

遇上這類問題，其實，自己畫，可能係更好既方法。

我的答案如下：

方法1 重點為搵相似三角形。
方法2 記住要帶數學文房三寶。其他

【聖誕IQ題 2條 - 答案】六角形填色／男女比例

聖誕IQ題答案公佈，未看過的可以現在試試喔：

（1）在這由正六邊形組成的平面上，填上不同顏色。使每個雙鄰的六邊形，顏色都不相同。最少要多少種顏色？
   (A) 4    (B) 6    (C) 7    (D) 2    (E) 3
.
.
.
.
.
.
.
(E) 3
三種色就夠！

＝＝＝＝＝

（2）在冬季開始時，一滑雪班註冊了至少66名學生。該滑雪班開始一個月後，有11男生才加入和13女生退出。這時，班裡的男女生比例為1：1。

以下那個*不可能*是滑雪班開始前（未有男女生加入退出之前）的男女比例？
（A）4：7   （B）1：2   （C）9：13   （D）5：11   （E）3：5
.
.
.
.
.
.
.
（D）5：11 
好明顯這是最小的 比例/分數！

詳細解釋：

【聖誕IQ題 2條】六角形填色／男女比例

（1）在這由正六邊形組成的平面上，填上不同顏色。使每個雙鄰的六邊形，顏色都不相同。最少要多少種顏色？

(A) 4 (B) 6 (C) 7 (D) 2 (E) 3

（2）在冬季開始時，一滑雪班註冊了至少66名學生。該滑雪班開始一個月後，有11男生才加入和13女生退出。這時，班裡的男女生比例為1：1。

以下那個*不可能*是滑雪班開始前（未有男女生加入退出之前）的男女比例？

（A）4：7 （B）1：2 （C）9：13 （D）5：11 （E）3：5

僅祝大家 Marry Chrismax !!!  係呀，專登串錯架，呢期興丫嘛

Marry Chrismax 的出處：http://forum10.hkgolden.com/view.aspx?type=BW&message=5578987

假期後開答案 [想要貼士/延伸問題，請看下方] 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。
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1）不是看圖咁直接的。試下填下色，你會有新發現。
2）試觀察下五個選項數字大小。

＝＝＝＝＝＝＝

3）題2的延伸問題，以下選項得嗎（可否是滑雪班開始前的男女比例）？為什麼？
F) 1：10   G) 4 : 9   H) 6 : 11

「3的2005次方」這個數，其個位數是什麼？

3²⁰⁰⁵ 的個位數字是甚麼？這乍看起來似乎很難解答，但其實我們只要分析一下個位數字的規律，便會發現 
3¹ 的個位數字是 3、
3² 的個位數字是 9、
3³ 的個位數字是 7、
3⁴ 的個位數字是 1。

然後循環 根據以上規律，我們不難發現 3²⁰⁰⁵ 的個位數字是 3。

另一方面，我們亦可通過求 3²⁰⁰⁵ 被 10 除時的餘數來解這題，這可以利用模(mod)算術的概念嚴謹地求得。

[趣味IQ題] Number Test

玩個數學遊戲，測試你的英文及數學能力：
Pick a number between 1 & 10,
Multiply it by 9,
Add the digits together,
Add 4.
Please write the answer with your answer.

一條培正數學邀請賽問題(中一)

培正數學邀請賽問題(中一 Q4) [圖像或不跟比例]

中一Level 1問題，來試一試？測試下你的平面幾何能力。可在留言留下簡單做法，或注意重點。
視乎情況，我不日內會公佈答案。


答案：360/7。
看詳細答案及討論的可到我的面書。


很希望能獲得你寶貴的意見。
如有意見、問題，請在下方留言。

HKDSE Math 2013 Paper 2 MC Q42 超快捷答題技巧（明白的話3秒內完成）

2013 Maths 第42題有咩快方法做?

Find the range of values of k such that the circle x^2+y^2+2x-2y-7=0 and the straight line 3x-4y+k=0 intersect.

A. -8<k<22
B. -8=<k=<22
C. k<-22 or k>8
D. k=<-22 or k>=8

問：呢條用 Substitution 做既話以 mc 黎講哂太多時間 仲要好煩同好易錯

答：
呢題3秒內可做完，條件係你要清楚兩大 concept，同 ＊要畫圖＊

• 圓與直線相交 (的方程)
• 直線方程定義 (y-截距 intercept)

詳細：
1。直線(3x-4y+k=0)中，k代表y-intercept（正確點應為k/4,但在這條不重要）
2。而直線要與該圓有相交，直線intercept*必定要在一定範圍內。

要cut到個圓（圖中所有的線只任意畫，不影響推算結果），
k必須within 一個範圍，就咁簡單。

所以答案是 B

*與圓相切(tangent) 的線亦屬相交(intersect)

相關資源:
2014 DSE Math 卷二 MC 詳細答案
2014 DSE Econ 卷一 MC 詳細答案(Part 1 Q1-15)
2014 DSE Econ 卷一 MC 詳細答案(Part 2 Q16-30)
2014 DSE Econ 卷一 MC 詳細答案(Part 3 Q31-45)

彈珠機中看常態分佈 (Normal Distribution)

我用這段片作教材很久了，而最近正把我的教材用片陸逐放上Youtube。在此分享一下。

很多同學不理解常態分佈 (Normal Distribution) 的那座「山」的分佈所代表的意思。通過這段片，你可看到，所有波子均由最頂部落下。但中間經過障礙物(均勻分佈)後，一部分便會向兩邊散開，而中間會落入最多的波子。
（注：留意最後一段的英文句子）

其實當一件事受到非常多因素所共同形響(這裏是那些障礙物)，其中並無任何因素的影響特別大，便呈常態分佈。常見例子: 新生嬰兒的IQ，一班學生的測驗成績，一間學校同級學生的身高。

這片是在波士頓博物館拍攝。

[趣味IQ題] 藍色筆和紅色筆個數互換了，想一想，為什麼?

網上看到這個GIF，都幾有趣，分享一下。

原有藍筆7支，紅筆6支。
把左下方的一細小格(3支筆的尾部)，移至圖的右下角區，使其接向最後三支筆的尾部。並把右下方格雷后九支筆尾部部分)向左順移。
便變成藍筆6支，紅筆7支。

藍色筆和紅色筆個數互換了，想一想，為什麼?  
答案一周後公佈。

圖片1: 移動鉛筆動畫

即使以收入中位數的一半劃作貧窮線，貧窮仍舊在理論上是可以完全消滅的

較早前政府制定了 「貧窮線」，社會上鬧得熱烘烘，其中政府方面曾公開說過「永遠不能完全消滅貧窮」。這個我在這借經濟學家 林本利 的一篇文章，讓大家看真這個謬誤。其實 即使以收入中位數的一半劃作貧窮線，貧窮仍舊在理論上是可以完全消滅的（例子見以下紅字部分）。

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蘋論： 千萬豪宅業主　亦屬貧窮戶

梁振英出任特首後重設扶貧委員會，其中一項重要工作就是訂立「貧窮線」，藉以了解香港的貧窮情況和協助制訂合適的政策減貧。

近日政府發表《2012年香港貧窮情況報告》，便是以貧窮線去計算香港的貧窮人口和住戶數目。 香港貧富不均問題日趨嚴重是不爭的事實，但用以量度貧窮情況的貧窮線本身有其局限，倘若將計算結果照單全收，恐怕未必能對症下藥，政府政策未能幫助那些有真正需要的貧窮家庭。

扶 貧委員會參考國際經驗，採納「相對貧窮」概念，以政策介入前（即扣除稅項及現金和非現金福利轉移的影響）為量度基礎，按不同住戶人數收入中位數的50%訂 立貧窮主線。按照這個方法，計算出在2012年，一人住戶的貧窮線定在月入低於3,600元，二人住戶低於7,700元的水平。全港貧窮人口高達131萬 人，貧窮率為19.6%，涉及54萬住戶。

不少人以為若採用貧窮線去量度貧窮情況，便直覺上覺得永遠有人處於貧窮線之下。這個想法其實是 對貧窮線的一種誤解。假設全港只得三個一人住戶，它們的收入分別是0元，7,200元和10,000元，收入中位數（即排中間的家庭）是7,200元，一 半即3,600元。在上述例子，三個家庭中有一個家庭收入低於3,600元。

倘若三個家庭的收入分別是4,000元，7,200元和 10,000元，收入中位數依然是7,200元，一半仍是3,600元，三個家庭的收入全部高於3,600元，沒有一個家庭生活在貧窮線之下。政府官員和 評論員以為理論上永遠無法滅貧，往往是因為誤將家庭收入中位數作為貧窮線，而忽略中位數的50%才是貧窮線，所以便出現永遠有一半人處於貧窮線之下的錯誤 觀念。

理論歸理論，在現實世界實在難以完全消滅貧窮，特別是全部家庭成員都是長者的一人和二人住戶。由於絕大部份的長者已經退休，沒有薪 金收入，加上他們未必把子女給予的生活費和其他收入（例如租金、股息和利息等）視作收入，向統計處如實匯報，故此便出現大量零收入的一人和二人住戶。

在54萬個貧窮住戶中，便有32萬個屬於一人和二人住戶；當中大部份是沒有收入的長者戶。隨着人口老化，越來越多住戶屬於「零收入」的長者住戶，恐怕只會越來越多住戶的收入低於貧窮線水平。

即 使退休長者沒有薪金收入或退休金，但他們可能有子女供養，或者定期收取投資收入，故此不一定貧窮。《貧窮情況報告》便揭示近20萬所謂「貧窮戶」，是擁有 私樓或居屋，而且九成以上的業主已不用供樓。即使這些擁有物業的貧窮戶將單位用作自住，沒有租金收入，他們亦可以申請安老按揭（即逆按揭），每100萬元 樓價每月可收取約2,000元。再加上每月2,200元的長者生活津貼（資產審查不計自住物業），擁有物業的長者貧窮戶早已脫貧。倘若不把自住物業視作資 產和收入來源（透過逆按揭），恐怕一些住在千萬豪宅的業主，也被界定為貧窮。

退休長者若然入住公屋，每月獲取的公屋福利至少價值千多元， 加上長者生活津貼，在政府政策介入後亦已脫貧。因此，最需要政府支援的就是那些無依無靠，租住私樓的長者。即使政府給予獨居長者3,600元的現金援助， 亦難以應付租金和生活開支。由於有大量「零收入」的獨居長者，拉低一人住戶的入息中位數，以致出現一人住戶的貧窮線（月入低於3,600元）不及二人住戶 （月入低於7,700元）一半的荒謬現象。日後政府制訂扶貧政策時，必須注意這情況。

今年政府正式落實長者生活津貼計劃，故此明年再發表《貧窮情況報告》時，政策介入後的長者貧窮住戶和人口勢必大減，這有助特首提升民望。

心得分享：好好應用你手上的武器－計數機，考好 DSE 數學科

去年發佈數學科升grade建議3招，今年決定加碼，發佈計數機心法十式。

考數學，若你唔識、唔熟用計數機其實就等於讓賽，肯定爭人半個Grade，仲有一個星期就考啦，仲有時間學下點用計數機用得叻啲。等我係度同大家分享一下心得啦，若大家有咩意見心得，或者睇到呢篇文章有咩錯漏，歡迎分享指正。

以下是以計數機 CASIO fx-50FH來說明，其他型號的計數機可能略有不同，但都大同小異。

1。善用計數機計算記錄功能，輕易攪掂 因式定律(Factor Theorem)之類問題（實用：★★★★★）

有人會用程式計，但計數機程式位置有限，梗係留黎入啲 更加有用既式 啦。

輸入方法：

例: 若 f(x) = x³ + 3x - 2，求 f(0), f(1), f(2)及f(3)
方法:
按 0 EXE      (輸入 0 至 Ans 的記憶位置中)

按 AC             (清空輸入的畫面)

再按 Ans x³ + 3Ans - 2 EXE   (顯示 f(0)為 - 2)

1 EXE         (輸入 1 至 Ans 的記憶位置中)

↑            (按向上箭咀回到 「Ans x³ + 3Ans - 2」記錄) 

EXE         (把存在 Ans 記憶的 1 按數式輸入運算，顯示 f(1)為 2)

2 EXE ↑ EXE (顯示 f(2)為 12)
3 EXE ↑ EXE (顯示 f(3)為 34)

【數字人生】靚仔靚女求職攻略，有相冇相策略怎選？

大學生爭職位難

很多大學生剛畢業的時候，都可能試過寄出許多的求職信，但都未能得到一個面試的機會，之前有碩士生都係咁仲上埋頭條添！有些人會說，這是因為自己的運氣不好，甚至不夠靚仔/靚女。唔好笑呀，這應該好真實架！平均來講，靚人會搵錢多點（陳振聰呢啲擺明係特殊例子啦），繼之前美國教授曾經話要補貼醜人後，日本最近亦好認真咁研究想開徵靚仔稅。但是有研究卻証實情況恰恰相反！

經濟學人在較早前曾有文章，指靚女在求職時反而會較「蝕底」！

買六合彩的竅門（影片） － 多買個位、同四十位既冧巴

六合彩點買可以增加中到既機會率呢？（看片）
 

相關資料：

六合彩頭二三獎中獎機會率（維基百科）

其他「六合彩」文章

民調不可盡信？

昨天看報紙看了一份報道，講述民意調查不可盡信，其中有些地方值得探討一下。

原文：民調不可盡信 - 晴報

文章中大意有二：
1。問卷問題可能會有誤導
2。調查人數太少，不具代表性

關於這兩點，實在有一些需要補充。

[日曆數學] 從黃金寶出戰奧運，用 "旅行日數" 定律找出兩數之間相距及有幾個數字

全部 [日曆數學] 系列文章

香港單車選手黃金寶準備以 39歲之年齡，第五度出戰奧運，他的確是香港人的驕傲！

那麼，他是幾多歲第一次出戰奧運呢？

那不就簡單了嗎：

  1) 5屆 × 4年一度 ＝ 20

  先計得他第一與第五屆奧運之間相差了 20年時間

  2) 再將  39 減去 20 ＝ 19歲！

   「就是在 19歳 時第一次參加奧運呀~」 

但這是錯的噢！

這也是許多學生容易出錯的概念

所以黃金寶第一次出戰奧運，

我地要計佢由第一次到今次中間相隔左幾多個四年！