[老師不教的數學] 圓周界為何是「直徑×π」? 圓周率是什麼? 看GIF動畫圖詳解 [初小可理解]

1)圓周界為何是「直徑×π」(2πr)?

為什麼 Pi (π) [圓周率] 是 22/7 或 3.14 ? 

(正確點說 π 應該是 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751...) ?

1a)圓周率 pi = 圓直徑 與 其周界 的比率

1b)米奇老鼠都黎解釋，3份直徑多一點，剛好包好圖周

1c)「碌車碌」展示圓周率約為 3.14

• 以上 GIF 的做法，用 1 條縄都可以做到，不過不夠精準。

2)圓周率的計算(準確計算 π)

2a)以「切月餅」細分方法 求出圓面積約為 πr²

1. 把圓一開 4份，再開 8份，再開至很小很小片 (好似生日蛋糕要分比好多人)
2. 一塊上一塊下的把其排好，細分後形狀很近似一個長方形
3. 長方形: 高 = 半徑(r) ; 長度 = 半條周界 (r×π)
4. 長方形面積 = 長 × 濶(高) = (r)×(rπ) = πr²

2b)以「剝洋蔥」方法 求圖面積

1. 把圓劃成等濶的多個圈
2. 攤開它們形成一兩面階梯的形狀，近以一三角形
3. 三角形: 底 = 圓周  = 直徑×π (2πr) ; 高 = 半徑 (r)
4. 三角形面積 = 底 × 高 ÷ 2 = 2πr × r ÷ 2 =  πr²

3)其他資料及總結

有興趣教小朋友的，可以淘一個圓周率演示器


課題:
Circumference (圓的周界) [小六]
Circle Area (圓面積) [中一]

相關文章：數學 MC 技巧之「三角面積」及「打格仔」法相關文章
相關文章：[老師不教的數學] 畢氏定理(Pythagorean theorem) 的証明？GIF動圖詳解。[中二識用, 小五可試]

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參考資料:

維基百科(圓周率)

Digits of Pi - Up to 1 Million Digits
Google

[老師不教的數學] 畢氏定理(Pythagorean theorem) 的証明？GIF動圖詳解。[中二識用, 小五可試]

 -- 本文較多動圖(gif)，載入可能需較長時間 --

畢氏定理 (不是定理! )，一條你中學必學的公式：

直角三角形的兩條直邊平方相加＝其斜邊的平方

1. 兩個小正方形(直邊) 剛好可注滿大正方形(斜邊)的水

2. 斜邊畫正方形補滿 再扣減相同面積

1. 以一直角三角形(黃色) 的斜邊邊長畫一 正方形(紅色)
2. 加多 3 個 黃色直角三角形，形成一大正方形。
3. 複製一個至右邊 
4. 右邊把 4 個 黃色直角三角形 合拼作兩個長方形 (注意大正方形的總面積[紅+黃]相等)
5. 左/右兩邊一起扣掉其中三個 黃色直角三角形 (餘下面積依然相等)
6. ⬛ +◢  = ◢ + ◾ + ◼     ⇒     ∴⬛(紅) = ◾(藍) + ◼(綠)

3. 四個直角三角形圍出大正方形 平移變兩個較小正方形 

1. 一直角三角形(粉紅色)，把其旋轉複製，以其斜邊作一長為 c 的正方形(面積:粉紅+淺藍)。
2. 把上方兩個直角三角形移向底，形成兩個邊長分別為 a 和 b 的正方形。
3. 此証畢氐定理。

4. 兩直邊正方形切片砌出斜邊正方形

數學家們梗係好鍾意去証明呢條定理，Cut the Knot 網站有成 122 個証明。

「有圖有真相」，本篇的動圖(GIF)，有助大家理解這條定理。

同畢氏定理最相關的事實，必然是其中一個直角三⻆形靚比例: 3-4-5，原因正正就是:
   3² + 4²  (兩個小直邊正方形面積)
= 9 + 16
= 25
= 5²   (等於大斜邊正方形面積)

原貼時間: 2013 Jan

最後更新: 2018 July

課題: Pythagoras' Theorem(畢氏定理) [中二]

來源: Pythagoras in 60 Seconds (Youtube)

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[香港] 會諞人的統計數字，結構性赤字？選不同起點有完全相反結果

較早前公報了《長遠財政計劃工作小組報告》，引來不少爭議，其中一項爭議是認為《報告》按不同假設，推算最快7年會出現結構性財赤。事實是否真的這樣呢? 當然不是。

我整理了 無線 新聞透視 的報導:

最簡單講，何時作起點的結果有著絶對性的影響！！！買股票睇圖表五十天線，二百五十天線講既野都唔同啦！

(以下引述自雷鼎鳴教授博客)

以1997年作起點年，頗有不妥，若是用其他年份作起點，例如1992（黃元山）、1998（羅致光）及2008（徐家健），結果便十分不同。
政府內部作推算時曾以80年代中作起點，結果分別不大，

[圖表說故事] IT 巨人 2013 年的收入分佈(Apple, Microsoft, Google)

Apple 2013年 收入分佈

蘋果首先還是個硬體公司，它的收入極大的來自硬體產品、而且是 7 年前並不存在的產品：iPhone 與 iPad。如果你將 iTunes、軟體與服務收入刨去，就很清楚這一點。更令人印象深刻的是，隨著 iOS 市場的發展，這塊業務從音樂銷售為主轉向以 app 銷售為主。

Microsoft 2013年 收入分佈

2013 年下半年，微軟的業務主要由企業軟體與服務組成（如圖表中的兩個橘色部分所示）。商業授權幾乎佔微軟營收的半壁江山，覆蓋 Windows 服務器產品、Windows 批量許可版和針對企業的 Office。其它商業業務主要由該公司快速成長的企業服務組成，如雲服務 Windows Azure 和 Office 365 商業版。

消費者業務方面（圖表中的 3 個藍色部分），消費者授權覆蓋 OEM Windows 授權、主打家庭和小商家用戶的 Office 和 Windows Phone。消費硬體包括 Xbox 硬體、Xbox Live 訂閱、Surface 產品和諸如鍵盤鼠標的 PC 配件。其它消費者業務一項則涉及 Windows 和 Windows Phone 在線商店、微軟實體店、Xbox 遊戲與服務、線上廣告（主要來自 Bing）和 Office 365 家庭高級版訂閱。

兩大授權業務仍是微軟主要收益來源，其它的部門總體都處於獲利狀態，儘管個別業務處於虧損或者打平。如想衡量微軟的設備與服務轉型是否成功，就需要在未來的季度財報中關注授權業務以外的業務的毛利率情況。

Google 2013年 收入分佈

兩年前， Google 的收入幾乎全部來自廣告。其 2011 年的報告裡寫，「2009 年我們收入的 97% 來自廣告，2010 與 2011 年則有 96% 來自廣告。」隨著 Google 收購摩托羅拉行動， Google 試圖進入硬體領域，你可以看到它的收入結構有了些微的變化。

不過最近它把這塊業務賣給了聯想，可能其收入結構又要回到最初「其他」（Other）類別裡，主要是包括其數位內容與非摩托羅拉的硬體產品，這塊仍占公司收入的很少一部分。所以摩托羅拉行動售出後， Google 的廣告收入又要回歸到佔比 90% 以上的地位。

[圖表說故事][經濟題] 美國生產及 GDP，與中國北韓比較(人頭計) | 全世界經濟量 2000年來變化

睇開一啲經濟博客，其中不乏一些好的圖表。正所謂

A picture is worth a thousand words (一張圖勝過千言萬語)

這篇收集了一些關於 GDP 相關 (最有代表性的經濟指標) 的圖表。

1.全世界經濟量 2000年來變化

這圖根本好似一幅圖畫咁，同時仲可以讓你很容易掌握到一啲資訊：

1.  中印於公元 0年曾頂半邊天（印度仲勁過中國）
2.  印度約於 1700年開始衰落，同時英國開始掘起
3.  中國由清朝末年就開始衰落（1870年），至80年代才開始雄風再現
4.  美國最強大的時期已過（1950年，剛打完第二次世界大戰後）
5.  跟住會點?

經濟題：呢個圖冇講係用邊個分類既 GDP，你估唔估到，同點解？
A. Nominal (名義) / Real (實質)
B. Per Capita (人均) / 全國
C. Purchasing Power Parity (PPP) 購買力平價計 / 無做平價   [答案見本文最底] 

2.以購買力平價(PPP)* 計，中國人均 GDP 落後美國約 100年

• 中國係 2011年既人均 GDP 仲係落後於美國達 100年之久
• 未按購買力平價折算前的人均差 GDP 150年 (1850年的生活是怎的?)
• 按購買力平價折算後的尚差 100年

*這裏有購買力平價(Purchasing Power Parity, PPP)的簡單解釋

3.以購買力平價(PPP)計，北韓人均 GDP 落後美國約 150年

• 聽過一句話「將一地方炸番去石器時代」，北韓唔使，佢本身就係存在於石器時代。

4.美國 2011年的實質生產力(每工人一年產值)

• 由 1950 年至今，需要用幾多年才可令工人生產力倍增：
• 第一期 1950-76年，要 26 年才番一番；第二期 1976-97年，只需 21 年；第三期 1997-2010年，只需 13 年。所需時間愈來愈短。
• 注意生產力值為實質數值 (Real)，即當時 (1930年) 一工人一年生產了的產品，在 2011 年賣 $19,500。
• 勞工生產力的增速加快，主因應為資本（機器）的累積。今天資本數量比 1950年完全不可同日而語。

5. 1970-2010年間最高製造產值的 5 個國家的增長比較

• 注意：Current US Dollars 即是名義值 (以當年即年的物價計)；這是購買力平價折算後的價值 (圖中未有提及)
• [日本] 在 1995 年將近追到美國之後，便見頂向下
• [中國] 自 1994 年起，增速愈見加快
• [中國] 2010 年製造產值完成超英趕美 (會否步日本後塵？)
• [中國] 整段期間幾乎未試過下跌，只有在 2005 年左右的一次；同期一同下跌的，只有同在亞洲的日本。
• [美國] 增長穩定，只有兩次明顯的下跌：2000 年左右的「科網股泡沫爆破」；2008年的「金融海嘯」
• [德國] 自 1990 年東西德統一後，產值浮沉，至約 2002 年左右才再拾動力
• [整體] 即使在 2008 年的金融海嘯期間，全部歐美國家皆產值下跌，只有中國保持增長

經濟題答案：應為名義、全國、平價後的 GDP。名義：因為是橫切面數據 (cross-sectional data) 比較，而並非跨時期 (longitudinal) 比較
全國：因為是國力的比較
平價：因為 2010年 中國的 GDP 只有美國的 3 分之 1

圖表說故事：好既圖表，可以讓你很容易快速掌握到重要既資訊

圖表來源：Economists, mjperry.blogspot.com
原帖於2012年6月22日發佈

《盛女愛作戰》中的統計學

最近見話題熱烈，但又冇完整相關數據，所以自己去統計處整理左啲《盛女》資料，娛己娛人。

每1000名女性的男性數目

全港每1000名女性相對的男性數目：
1981：1097
2001：868
2009：889 〔扣除外籍家庭傭工後：955〕
2011：725
2039：744 〔扣除外籍家庭傭工後：804〕

。。。2039年都沒有比現在情況更差呀！都係大約每4女爭3男啫！

全港每1000名盛女（25-49歲）相對的同齡盛男數目(盛女盛男意即未曾結過婚)：
1981：2750
2001：1063
2006：1131

2011：903

2039：638

。。。但係若只計算「盛年人」的話。。。

。。。不過依家嘅情況都未算好差啫10女爭9男啫！

[圖表說故事] 離婚率怎計算

昨天看了一份新的免費報紙—「晴報」。其版面的廣告之小，實在令人看得非常賞心悅目。有好多嘢真係只會在最初的時候是美好的。。。。。

而其中一個「最初的時候是美好的」便是婚姻。

「晴報」在8月3日的一篇文章正是談這個—中國離婚率。

假離婚推高離婚率

乍看來，中國的離婚率怎麼這麼高呀？我好像聽說過，有些地方的人，為了要多拿一些福利，而假離婚。譬如地方按家庭單位賠償農地，夫妻離婚後算兩個家庭因此會分多一份，但兩夫妻離婚後依然同住。這麼就可能會推高離婚率。

但，假離婚會推高多少呀？大城市如北京的應該不會有這些假離婚吧！為何大陸的離婚率為何會這麼高？又要超英趕美嗎？要解答這個，便先要攪清楚，究竟什麼是離婚率呀？(事實上，報紙常常都會報導一些數字，但又不解釋清楚該些數字是什麼意思，只把外電給翻譯過來便算！)

離婚率的計算方法

要知道什麼是離婚率，即是要解答：「離婚率是怎樣計算出來的？」

讓你選選看：

A.是看所有人口中(如香港所有7百萬人口)，有多少人曾經離過婚

B.某年的所有離婚登記數目，除以該年的結婚註冊數目

C.計算在所有結婚的人當中(包括峰芝戀)，有多少會是離婚收場

你選C，是嗎？對了，C是離婚率的意思。

「你今日離左婚未呀？」

可惜，C是統計學上計不出來的。難道你追蹤每位結婚的人，然後定期問他們：「你今日離左婚未呀？」

離婚率的計算，是用B方法[所有離婚登記，除以該年的結婚數目]計的。(見維基百科—離婚率英文版面)

這方法的先天不足有兩個，第一，同年的結婚人士與離婚人士絶不會是同一批人(但有一小部分是)。

「大難臨頭各自飛」?

第二，當結婚人數因為某些外來因素減少時，如香港97金融風暴至03沙士期間，該些年份的離婚率即會上升，這並不表示夫婦「大難臨頭各自飛」，即不能如實反映夫妻離婚的機會。(即是說，你要是某次測驗唔合格，你都會話係個測驗出得深左，不反映你能力低左啦) 看這段期間(97-03)的離婚數字只按其長期趨勢上升，而並非突然增加，便可証明。(見圖-資料來源:香港統計處)

大陸現時的高離婚率，應該很似我們香港在97-03經濟不景期間的情況，因結婚人數低(大陸的高樓價令很多人延遲結婚)拉高離婚率。

觀之於圖，香港離婚率現時大概在30-40%左右，即每三對新人中，會有一對不會白頭偕老。香港這方面的數字真的與國際接軌呀(美國為50%)！

全球最富有地區(按購買力平價計)，香港排第七

全球最富有地區 (排第五的是汶萊)

美雜誌按人均 GDP 排名 卡塔爾全球最富有

『例如擁有豐富石油儲藏的科威特及阿聯酋，分別排第14及18位。亞洲國家及地區只有本港及新加坡(第4位)能夠打入頭10位。台灣的人均GDP約26萬港 元，排第24位，日本則只排在第25位。至於中國則排第96位，人均GDP約56,500港元。至於最窮國家則是非洲的剛果民主共和國，人均GDP只有 2,670港元，卡塔爾人均GDP是剛果民主共和國的264倍。排尾二的同樣是非洲國家，是曾經歷嚴重通貨膨脹的津巴布韋，其人均GDP為2,850港元。』

原文

RC：真估不到石油生產國科威特及阿聯酋的排名會比我們香港與及新加坡為後，

[圖表說故事] 金錢萬能？美證實：快樂買得到

月薪過 5萬元，錢的邊際效用遞減至將近零

『雖說金錢買不到健康，但根據美國最新的研究指出，收入增加確實能讓快樂指數上升，也就是說，金錢買得到快樂；例如年薪7萬5000美元（約合港幣 58.5萬元即月薪約 5萬元）以下的民眾，賺越多會越開心；但若年薪是超過這個數字的民眾，收入增加並不會影響快樂指數。。。』


文中亦有說快樂在美國的價錢即為75000美元（因再多的收入已不再令快樂增加，即邊際效用遞減至接近零，這片有解釋）。要知道同一樣的物品不同的地方價格可差天共地，香港的『快樂』價格相信一定不只此數 (生活空間太小啦)。

記得曾經有職業分別為醫生及律師的夫婦致電去電台節目，向特首投訴買唔起我們的超貴市區樓。作為專業人士家庭，他們加起的一年收入，理應高於75000美元（港幣58.5萬元），但他們也會致電電台去投訴，你覺得他們快樂嗎？

連專業人士也欲求不滿，難怪我們香港的幸福星球指數(Happy Planet Index)排名排在84這麼低。。。

課題: Consumer & Producer Surplus (消費者與生產者剩餘)
概念: 邊際效用遞減 (Out of HKDSE syllabus)

keep updating: 講錢的 diminishing utiltiy (DMS堂上講的)