[日曆數學] 每19年新曆和舊曆便是同一天？為什麼呢？一定是這樣的嗎？ [2020年1月更新]

(讀者若有提問，可於下方留言，我會盡量答覆)  

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每 19 年新曆和舊曆的日子會重遇

2014 年的 2 月 14 日，剛好是農曆正月十五，是 東西情人節巧遇的一天，商家們亦因此生意火旺 (BBC 報導)。若你翻查 19 年前的 1995年亦然。 像這樣新曆和舊曆的對照是同一天的，原來每 19 年都會循環一次（生日亦然）。 [1][2]

所以女士們要小心，不要隨便跟人說「喔，今年很特別耶，新舊曆生日在同一天喔」，否則後果自負。

一般來說，一個人的 19、38、57、76 和 95 歲的生日，都會 (至少幾個) 新曆舊曆重叠，以我為例，這 5 個年度都重叠，但偏偏出生年卻不同... (有讀者留言提我, 今年2020年, 我的新舊曆生日都會重叠呀😭 ~ )   而在 1984/85 某段期間出生的人，亦同樣沒有這種「福份」。(注1)    (本文稍後會解釋)

為什麼會每 19 年生日新曆和舊曆是同一天？ 這跟 新曆 和 舊曆 的計算方式有關。

新曆 和 舊曆 的計算方式 (曆法)

新曆計法

新曆 (即陽曆) 是根據 地球環繞太陽公轉 的周期 (轉一圏需時)，一年 365.2422 天來計算。
  (詳細新曆計法 見 注2)

圖1: 地球圍繞太陽公轉

陰曆計法

陰曆 (農曆, 舊曆, 或陰陽曆) 是主要根據 月球環繞地球公轉 的周期，一個月 29.5306 日來計算，輔以 以太陽位置計算的 節氣。

節氣 分 節 同 氣，節 係將 黃道 (地球環繞太陽公轉軌道) 十二分 (360 / 12 = 30 度)，而 氣 就係 節同節 中間個位 (固亦稱「中氣」)，亦都有十二個。[固節氣每個相隔 15度] (維基)  (詳細農曆計法 見 注3)

圖2: 節氣名稱排序與出現時間 [3]

每 19 年 地球對太陽公轉，與 月亮對地球公轉 周期重叠

由於 新曆 19 年 共有 365.2422 × 19 = 6936.6018日，
而 農曆 235 個月* 亦剛好有 235 × 29.5306 = 6936.6910日，
兩者僅相差約 0.0892天。所以，農曆和新曆的月和日，會 每 19 年便「循環」一次。
*雖然有 19年 零7個月，但這多出的 7個月，會以 閏月 的方式，剛好加在這 19個農曆年間  (閏月計法見 注3 的 第6點 及 注4)   [4][5]

1984/85 年間部分日子生日 95 年來的 19年週期永不相遇

由於農曆以節氣冬至作為十一月的特性 (注3) ，有些日子新舊曆的 19年週期 完全沒有相遇。

其中例子是凡在 新曆 1984年 11月 23日 至 1985年 4月 19日 之間出生的人，他們的一生 沒有一次 生日是新曆舊曆同一天，這異常情況並不常見（上一次發生這種情況是 1889/90 年，而下一次則在 2185/86 年）。 [6]

表1: 1984 至 1985 年間出生人士一生生日不會新舊曆重遇

因為 1984年的冬至(地球於黃道位置) 剛好在新月(月球對地球位置)之後，所以是農曆十一月，這是少有發生日；(注3)     而 2003年則冬至後才新月，所以同樣是 11月23日，於1984年是閏十月，於2003年，已是農曆十一月。

注解：

注1: 三個在 1984 和 1985 年出生的人新曆生日的舊曆對照    [1][2]

表2: 84/85年間生日人士 19,38,57,76,95歲的舊曆日子

注2: 新曆計法
本來西方古人把每月天數 隔月定為 31 天及 30 天 (一年有 366天)，
後來兩個帝王 (凱撒大帝 及 奧古斯都) 分別按自己意願，把 7 月及 8 月都定為大月，並把處決犯人不吉祥的 2月 定為 28 天 (這樣一年有 365天)，並把每 4 年少了的大約一天 (0.2422 x 4 = 0.9688)，以 四年一閏 (2月29日) 的方法補上 。 [7]

但這樣 每 4年便多了: 1 - 0.9688 = 0.0312天
100年便多了: 0.0312 x 25 = 0.78天 (多了將近 1 天)
於是古人便以 逢百不閏 減一天去解決 (卻多減了 1 - 0.78 = 0.22天)；

同樣，這樣計 每 400年 會少了將近一天 (1 - 0.78) x 4 = 0.88，於是 每 400年又補一天 (四百再閏)， 這樣每 400年 才多了 0.12天 (即 3200 年才會多 1天)，算很準確了。

閏年口缺:「逢四則閏，逢百不閏，四百再閏」

例子：2020年 為 4 的倍數，為閏年有 2月29日；2100年雖為 4 的倍數，但同時為 100 的倍數，不閏(沒有 2月29日)；2000年為 100 的倍數，本應不閏，但因為是 400 倍數，所以便置閏 [8]

表1: 判斷閏年流程圖 

注3: 陰曆計法  [9]

1. 所有新月和節氣出現時刻的計算，以 北京時間 為準。
2. 一天始自夜里 零時 (00:00)。
3. 新月出現 的一天定為一個月的第一天，為初一 (亦稱「朔」)。 (即使節氣出現時間早於新月亦計入新一個月)
4. 由於一天之始為零時，所以一月為29天或30天，視乎新月出現的確實時間，沒有固定規律，只大約輪流出現，不像新曆般每年一樣。
5. 每年的 冬至 定為 陰曆十一月。
6. 連續兩個冬至其間，若有十三個新月出現，其一會作為閏月。因中氣只可有 12個，所以期間至少有一個月沒有中氣，該歲第一個沒有中氣的月便為閏月。亦有可能當中兩個月沒有中氣，但亦只會把第一個沒有中氣的月定為閏月，第二個則照排。閏月的前一個月為幾月則該閏月稱為閏幾月。  

注4: 19年間新曆比農曆多出多少個農曆月

(1)0.3683    (2)0.7365    (3)1.1048    (4)1.4730    (5)1.8413
(6)2.2096    (7)2.5778    (8)2.9461    (9)3.3144    (10)3.6826
(11)4.0509  (12)4.4191  (13)4.7874  (14)5.1557  (15)5.5239
(16)5.8922  (17)6.2605  (18)6.6287  (19)6.9970
 ()為累計年數

上表計算方法: 
先計算以每一新曆年會比農曆年多出多少個農曆月:
(365.2422 ÷ 29.5306) - 12 = 0.36826
再把 0.36826 一路倍大，例如 0.36826 x 2 = 0.7365 即兩個新曆年多出的農曆月，如此類推，大約 於每個與整數位最近的年份 便會閏一個月(黃底表示)

參考資料連結:

[1] 新曆與農曆互轉(簡體)
[2] 香港天文台公曆與農曆日期對照表
[3] 地球科學與生態環境的關係.
[4] 公農年曆/農曆閏月是怎麼來的?如何計算閏月? 
[5] 曆中有數 ─ 19年7閏月
[6] 寂寞的十九歲－2004 年為甚麼有閏二月？(原文backup) [原文己刪 | 網上另一 backup]
[7] 為什麼七、八月都是31天？ @ olesan的部落格 :: 痞客邦 ::
[8] 曆中有數 ─ 閏年
[9] 陰曆規則


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